Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3在（-∞，1]上是減函數(shù)，當x∈[a+1，1]時，f（x）的最大值與最小值之差為g（a），則g（a）的最小值是1．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的單調(diào)區(qū)間求出a的范圍，利用f（x）的單調(diào)性求出f（x）的最大值和最小值，得出g（a）的解析式，利用g（a）的單調(diào)性計算g（a）的最小值．

解答 解：解：∵f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，
∴-a≥1，即a≤-1．
∴f（x）在[a+1，1]上的最大值為f（a+1）=3a²+4a+4，
最小值為f（1）=4+2a，
∴g（a）=3a²+2a=3（a+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
∴g（a）在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，
∴g（a）的最小值為g（-1）=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性判斷，最值計算，屬于中檔題，