Question

3．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{kx-1}{x-1}（k∈R）$．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0時(shí)，根據(jù)f（x）=-lg（1-x）∈R，求得它的值域．
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，由函數(shù)的解析式可得（kx-1）（x-1）＞0，分類(lèi)討論k的范圍，求得x的范圍．
（3）由題意可得g（x）=$\frac{kx-1}{x-1}$=lg（k+$\frac{k-1}{x-1}$）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故有k-1＜0，且k+$\frac{k-1}{9}$＞0，由此求得k的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)于函數(shù)$f（x）=lg\frac{kx-1}{x-1}（k∈R）$=lg$\frac{-1}{x-1}$=-lg（1-x）∈R，
由于1-x能取遍所有的正實(shí)數(shù)，故函數(shù)的值域?yàn)镽．
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）=lg$\frac{kx-1}{x-1}$，由$\frac{kx-1}{x-1}$可得（kx-1）（x-1）＞0，
當(dāng)k＞1時(shí)，$\frac{1}{k}$＜1，求得{x|x＜$\frac{1}{k}$，或x＞1}；
當(dāng)k=1時(shí)，求得{x|x∈R且x≠1}；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，$\frac{1}{k}$＞1，求得{x|x＞$\frac{1}{k}$，或x＜1}；
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)楫?dāng)k＞1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＜$\frac{1}{k}$，或x＞1}；
當(dāng)k=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞$\frac{1}{k}$，或x＜1}．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則g（x）=$\frac{kx-1}{x-1}$=lg（k+$\frac{k-1}{x-1}$）在區(qū)間[10，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴k-1＜0，且k+$\frac{k-1}{9}$＞0，求得$\frac{1}{10}$＜k＜1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（$\frac{1}{10}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．