Question

已知．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng),時,求證： ．

 

Answer 1

（1）函數(shù)在區(qū)間（0,1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出，從而得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間（1，+∞）為減函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的極大值為f（1）=1，令，得函數(shù) g（x）取得最小值g（1）=k-1，由有實(shí)數(shù)解，k-1≤1，進(jìn)而得實(shí)數(shù)k的取值范圍．（Ⅲ）由，得，從而 ，即，問題得以解決．

試題解析：解：（1）,∴

∴當(dāng)時,；當(dāng)時,；

∴函數(shù)在區(qū)間（0,1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù) 4分

（2）由（1）得的極大值為,令,

所以當(dāng)時,函數(shù) 取得最小值,

又因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806020710012239/SYS201502280602344137221621_DA/SYS201502280602344137221621_DA.023.png">有實(shí)數(shù)解,那么, 即,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：． 8分

（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù),而,

∴∴,即

即,而,

∴結(jié)論成立． 12分．

考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2．導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．