Question

1．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，P為橢圓C上的一點，且位于第一象限，直線PO，PF分別交橢圓C于M，N兩點．若△POF為正三角形，則直線MN的斜率等于（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由于|OF|為半焦距c，利用等邊三角形性質，即可得點P的一個坐標，PF方程為：y=-$\sqrt{3}$（x-c）代入橢圓標準方程即可得N坐標，再用斜率公式，求解

解答 解：∵橢圓上存在點P使△AOF為正三角形，設F為左焦點，|OF|=c，P在第一象限，
∴點P的坐標為（$\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}c$）代入橢圓方程得，$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{3c}^{2}}{4^{2}}=1$．又因為a²=b²+c²，得到$c=（\sqrt{3}-1）a$．
橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的方程可設為：2$\sqrt{3}$x²+（4+2$\sqrt{3}$）y²=（2$\sqrt{3}$+3）c^2…①．
PF方程為：y=-$\sqrt{3}$（x-c）…②
由①②得N（（$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$）c，$\frac{3\sqrt{3}-6}{2}c$），
M，P兩點關于原點對稱，∴M（-$\frac{c}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
直線MN的斜率等于$\frac{\frac{3\sqrt{3}-6}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$．
故選：D

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關系，計算量較大，屬于中檔題．