Question

9．已知F₁和F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上一點(diǎn)，切滿足∠F₁PF₂≥60°，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• C． [1，$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 設(shè)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求出∠F₁PF₂=60°時(shí)，PF₂的大小，由焦半徑公式的PF₂=a-ex₀解得x₀，根據(jù)對(duì)稱性，則x₀的取值范圍

解答 解：∵a=$\sqrt{2}$，b=1，∴c=1．
設(shè)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則由橢圓的定義可得：t₁+t₂=2$\sqrt{2}$…①
在△F₁PF₂中，當(dāng)∠F₁PF₂=60°，
所以t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4…②，
由①-②得t₂=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由焦半徑公式的a-ex₀=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得x₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)點(diǎn)P向y軸靠近時(shí)，∠F₁PF₂增大，根據(jù)對(duì)稱性，則x₀的取值范圍是：[-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)及焦點(diǎn)三角形的特征，屬于中檔題．