18.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在[-1,1]上單調遞增是(  )
A.f(x)=|sinx|B.f(x)=ln$\frac{2-x}{2+x}$C.f(x)=$\frac{1}{2}$(ex-e-xD.f(x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x)

分析 根據(jù)題意,依次分析4個選項所給函數(shù)的奇偶性與單調性,是否滿足題意,即可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,依次分析選項:
對于A、f(x)=|sinx|,有f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),為偶函數(shù),不符合題意,
對于B、f(x)=ln$\frac{2-x}{2+x}$,有$\frac{2-x}{2+x}$>0,解可得-2<x<2,即其定義域為(-2,2),關于原點對稱,又由f(-x)=ln$\frac{2+x}{2-x}$=-f(x),為奇函數(shù),
令t=$\frac{2-x}{2+x}$=-1+$\frac{4}{x+2}$,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),而y=lnt為增函數(shù),
而f(x)=ln$\frac{2-x}{2+x}$在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),不符合題意,
對于C、f(x)=$\frac{1}{2}$(ex-e-x),其定義域為R,關于原點對稱,又由f(-x)=$\frac{1}{2}$(e-x-ex)=-f(x),為奇函數(shù),
函數(shù)y=ex為增函數(shù),而函數(shù)y=e-x為減函數(shù),
故函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$(ex-e-x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數(shù),符合題意,
對于D、f(x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x),有$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x>0,解可得x∈R,其定義域為R,關于原點對稱,又由f(-x)=-f(x),為奇函數(shù);
令t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$,在區(qū)間(-1,1)為減函數(shù),而y=lnt為增函數(shù),
故f(x)=ln($\sqrt{{x}^{2}+1}$-x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù),不符合題意,
故選:C.

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調性的判斷,關鍵是掌握函數(shù)奇偶性與單調性的判定方法,尤其復合函數(shù)單調性的判斷方法.

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