Question

已知集合A={x|2x2-x-6＞1}，集合B={x|log₄（x+1）＜a}，且A∩B=∅，則a的取值范圍是

a≤1

．

Answer 1

分析：先把集合A中不等式的右邊的1化為2⁰，由2大于1，得到指數函數為增函數，進而根據指數的大小得到關于x的不等式，求出不等式的解集確定出集合A，然后再把集合B中不等式的右邊變形，根據4大于1，得到對數函數為增函數，同理可得關于x的不等式，求出不等式的解集可得到集合B，由兩集合的交集為空集，列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到滿足題意的a的范圍．

解答：解：由集合A中的不等式2x2-x-6＞1=2⁰，
由2＞1，得到指數函數為增函數，
∴x²-x-6＞0，即（x-3）（x+2）＞0，
解得：x＞3或x＜-2，
∴集合A={x|x＞3或x＜-2}；
又對數函數為增函數，
由log₄（x+1）＜a=

log

4a 4

，得到x+1＜4^a，即x＜4^a-1，
由集合B中的不等式左邊的對數函數y=log₄（x+1），且A∩B=∅，
得到-1＜x≤3，
∴4^a-1≤3，解得a≤1，
則a的取值范圍是a≤1．
故答案為：a≤1

點評：此題屬于以指數函數及對數函數的單調性及特殊點為平臺，考查了交集的運算，熟練掌握指數及對數函數的性質是解本題的關鍵．