Question

12．已知拋物線x²=4y，直線y=k（k為常數(shù)）與拋物線交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，若在拋物線上存在一點(diǎn)P（不與A，B重合），滿足$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． k≥2
• B． k≥4
• C． 0＜k≤2
• D． 0＜k≤4

Answer 1

分析 由題意可得設(shè)A（2$\sqrt{k}$，k），B（-2$\sqrt{k}$，k），P（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由換元法可得二次方程，由判別式大于等于0和兩根非負(fù)的條件，運(yùn)用韋達(dá)定理，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由y=k（k＞0），代入拋物線x²=4y，可得x=±2$\sqrt{k}$，
可設(shè)A（2$\sqrt{k}$，k），B（-2$\sqrt{k}$，k），P（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得（2$\sqrt{k}$-m，k-$\frac{{m}^{2}}{4}$）•（-2$\sqrt{k}$-m，k-$\frac{{m}^{2}}{4}$）=0，
即為（2$\sqrt{k}$-m）（-2$\sqrt{k}$-m）+（k-$\frac{{m}^{2}}{4}$）²=0，
化為$\frac{1}{16}$m⁴+m²（1-$\frac{k}{2}$）+k²-4k=0，
可令t=m²（t≥0），則$\frac{1}{16}$t²+t（1-$\frac{k}{2}$）+k²-4k=0，
可得△=（1-$\frac{k}{2}$）²-$\frac{1}{4}$（k²-4k）≥0，即1≥0恒成立，
由韋達(dá)定理可得-（1-$\frac{k}{2}$）≥0，k²-4k≥0，
解得k≥4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及二次方程根的分布，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．