Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n＝n²，數(shù)列{b_n}滿足b_n＝，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和T_n；
(2)若對(duì)任意的n∈N^*，不等式λT_n<n＋(－1)ⁿ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1.（2）(－∞，0)．

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝2n－1，驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)，也成立；所以a_n＝2n－1.
b_n＝＝，
所以T_n＝.
(2)由(1)得λ<，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，λ<＝2n－－1恒成立，
因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n－－1單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n＝1時(shí)，2n－－1取得最小值為0，此時(shí)，λ<0.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ<＝2n＋＋3恒成立，
因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n＋＋3單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n＝2時(shí)，2n＋＋3取得最小值為.此時(shí)，λ<.
綜上所述，對(duì)于任意的正整數(shù)n，原不等式恒成立，λ的取值范圍是(－∞，0)．