Question

5．在y=2^x，y=log₂x，y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$這三個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 分別計(jì)算f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出大小關(guān)系．

解答 解：0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立，
則函數(shù)圖象在（0，1）上是下凹的．
對(duì)于函數(shù)y=2^x，當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$＞$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
因此0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立．
同理可得：y=log₂x，y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$這兩個(gè)函數(shù)不成立．
綜上可得：恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是1個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、基本不等式的性質(zhì)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．