Question

17．下列不等式在（0，+∞）上恒成立的是（　�。�

• A． e^x＞x+2
• B． sinx＞x
• C． lnx＜x
• D． tanx＞x（x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈N）

Answer 1

分析 A．取x=1，則e＜1+2，即可判斷出結論．
B．取x=1，則sin1＜1，即可判斷出結論．
C．令f（x）=x-lnx，利用導數研究其單調性可得：
x=1時，函數f（x）取得極小值即最小值，可得f（x）≥f（1）=1＞0，即可判斷出結論．
D．取x=π+$\frac{π}{4}$，tan$（π+\frac{π}{4}）$=1＜π+$\frac{π}{4}$，即可判斷出結論．

解答 解：A．取x=1，則e＜1+2，因此不恒成立．
B．取x=1，則sin1＜1，因此不恒成立．
C．令f（x）=x-lnx，則f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，可知：當x=1時，函數f（x）取得極小值即最小值，∴f（x）≥f（1）=1＞0，因此恒成立．
D．取x=π+$\frac{π}{4}$，則tan$（π+\frac{π}{4}）$=1＜π+$\frac{π}{4}$，因此不恒成立．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．