Question

5．一個化肥廠生產(chǎn)甲種混合肥料1車皮、乙種混合肥料1車皮所需要的主要原料如表：

原料 種類	磷酸鹽（單位：噸）	硝酸鹽（單位：噸）
甲	4	20
乙	2	20

現(xiàn)庫存磷酸鹽8噸、硝酸鹽60噸，計劃在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)若干車皮的甲、乙兩種混合肥料．
（Ⅰ）設(shè)x，y分別表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)，試列出x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，利潤為3萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，利潤為2萬元．那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料多少車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得4x+2y≤8，20x+20y≤60，且x，y≥0，運用直線的畫法，結(jié)合二元一次不等式的區(qū)域，即可得到；
（Ⅱ）設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮，乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤z萬元．則目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y，將z=3x+2y變形為$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$，可得z的幾何意義為y軸上的截距的2倍，運用平移法，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：
$\left\{\begin{array}{l}4x+2y≤8\\ 20x+20y≤60\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤4\\ x+y≤3\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$．        
在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）．
（Ⅱ）設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮，乙種肥料y車皮，
能夠產(chǎn)生利潤z萬元．則目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y，
可行域如圖所示：
將z=3x+2y變形為$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$，
由圖可知當(dāng)直線$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$經(jīng)過可行域上的點M時，截距$\frac{1}{2}z$最大．       
解方程組$\left\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ x+y=3\end{array}\right.$，
解的點M的坐標(biāo)為：x=1，y=2． ）
所以z_max=3x+2y=3×1+2×2=7．
答：生產(chǎn)甲種肥料1車皮、乙種肥料2車皮，
能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤是7萬元．

點評 本題考查線性規(guī)劃在實際問題的運用，考查目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值求法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運算能力和作圖能力，屬于中檔題．