Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）當(dāng)x∈[2，5]時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）≥0，即x²+4x+3≥0，化為（x+1）（x+3）≥0，即可解出．
（2）f（x）≥a恒成立?當(dāng)x∈[2，5]時(shí)，a≥$\frac{-{x}^{2}-3}{x-1}$=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]，利用基本不等式即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）≥0，
即x²+4x+3≥0，化為（x+1）（x+3）≥0，解得x≥-1或x≤-3．
∴不等式f（x）＞0的解集是{x|x≥-1或x≤-3}；
（2）x∈[2，5]時(shí)，f（x）≥a恒成立?當(dāng)x∈[2，5]時(shí)，a≥$\frac{-{x}^{2}-3}{x-1}$=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]
又[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]≥6，（當(dāng)且僅當(dāng)x=，3時(shí)取等號(hào)），
∴-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+2]≤-6
∴a≤-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題題．