分析 ( I)取AC的中點O,A1O,BO.推出BO⊥AC.證明BO⊥側(cè)面ACC1A,得到BO⊥A1O.然后證明A1B⊥AC.A1B⊥AB1,即可證明A1B⊥平面AB1C.
( II)以O(shè)為原點,建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),求出平面ABB1A1的一個法向量,設(shè)BC1與平面ABB1A1所成的角為θ,利用向量的數(shù)量積求解即可.
解答 ( I)證明:取AC的中點O,A1O,BO.因為△ABC是等邊三角形,所以BO⊥AC.…(1分)
因為側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,側(cè)面A1ACC1∩底面ABC=AC,BO⊥AC,
所以BO⊥側(cè)面ACC1A.A1O?側(cè)面ACC1A,∴BO⊥A1O.…(2分)
在Rt△A1BO中,
因為A1B=√6,BO=√3,所以A1O=√3.AA1=2,AO=1,所以A1O2+AO2=AA12.
所以△A1AO為直角三角形,所以A1O⊥AC.…(3分)
又BO⊥AC,A1O∩BO=O,所以AC⊥平面A1BO.A1B?平面A1BO,所以A1B⊥AC.…(4分)
因為四邊形ABB1A1為菱形,所以A1B⊥AB1.…(5分)
因為 A1B∩AC=A,所以A1B⊥平面AB1C.…(6分)
( II)解:由( I)知,可以O(shè)為原點,建立如圖所示的坐標(biāo)系,由題設(shè)條件知,B(√3,0,0),A(0,−1,0),A1(0,0,√3),C1(0,2,√3).
所以→AA1=(0,1,√3),→AB=(√3,1,0),→BC1=(−√3,2,√3).…(8分)
設(shè)平面ABB1A1的一個法向量為→n=(x,y,z),
則{→n•→AA1=0→n•→AB=0所以{y+√3z=0√3x+y=0.解得{x=zy=−√3z.
令z=1,則→n=(1,−√3,1).…(10分)
設(shè)BC1與平面ABB1A1所成的角為θ,
則sinθ=cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{B{C}_{1}}>=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}|=|\frac{-\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}|=\frac{\sqrt{6}}{5}…(12分)
點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,直線與平面所成角的求法,考查空間想象能力以及計算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期調(diào)研三考數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,二次三項式
對于一切實數(shù)
恒成立,又
,使
成立,則
的最小值為( )
A.1 B. C.2 D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{6}或\frac{5π}{6} | B. | \frac{π}{3}或\frac{2π}{3} | C. | \frac{π}{6} | D. | \frac{2π}{3} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com