Question

15．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F的直線與雙曲線相交于A，B兩點，當(dāng)AB⊥x軸，稱|AB|為雙曲線的通徑．若過焦點F的所有焦點弦AB中，其長度的最小值為$\frac{2^{2}}{a}$，則此雙曲線的離心率的范圍為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 當(dāng)經(jīng)過焦點F的直線與雙曲線的交點在同一支上，可得雙曲線的通徑最��；當(dāng)直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時，即為實軸，最小為2a．由2a≥$\frac{2^{2}}{a}$，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到范圍．

解答 解：當(dāng)經(jīng)過焦點F的直線與雙曲線的交點在同一支上，
可得雙曲線的通徑最小，令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有最小值為$\frac{2^{2}}{a}$；
當(dāng)直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時，
即為實軸，最小為2a．
由題意可得2a≥$\frac{2^{2}}{a}$，
即為a²≥b²=c²-a²，
即有c≤$\sqrt{2}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$∈（1，$\sqrt{2}$]．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意討論雙曲線與焦點弦的位置關(guān)系，求得最小值，考查運算能力，屬于中檔題．