Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（0）=1，對任意x∈R，都有1-x≤f（x），且f（x）=f（1-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若?x∈[-2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）由f（0）=1，得c=1，又對任意x∈R，f（x）=f（1-x）得f（x）圖象的對稱軸為直線x=

1

2

，
即a=-b，又對任意x∈R都有1-x≤f（x），則a＞0，判別式不大于0，即可得到a，b，進而得到解析式；
（Ⅱ）由?x∈[-2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立即方程x²+x=m²-m在x∈[-2，2]有解．令g（x）=x²+x，求出g（x）在[-2，2]的最值，再解不等式，即可得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），f（0）=1，
∴c=1，
又對任意x∈R，f（x）=f（1-x）
∴f（x）圖象的對稱軸為直線x=

1

2

，
則-

b

2a

=

1

2

，∴a=-b，
又對任意x∈R都有1-x≤f（x），即ax²-（a-1）x≥0對任意x∈R都成立，
∴

a＞0 △=(a-1)2≤0

，
故a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1；                      
（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x²+x=m²-m，
由題意知方程x²+x=m²-m在x∈[-2，2]有解．
令g(x)=x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

，
∴g（x）_min=g（-

1

2

）=-

1

4

，g（x）_max=g（2）=6，
∴-

1

4

≤m²-m≤6，
∴

m2-m≤6 m2-m≥- 1 4

⇒

-2≤m≤3 m∈R

⇒-2≤m≤3，
所以滿足題意的實數(shù)m取值范圍[-2，3]．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法：待定系數(shù)法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查二次不等式的解法，屬于中檔題．