Question

如圖，已知ABCD是圓錐SO底面圓O的內接矩形．
①當AB=AD時，判斷直線SA與直線BD的位置關系（不要證明）；
②設E為SA的中點，G為△AOD的重心，求證：EG∥平面SDC；
③若圓錐SO側面展開圖示半徑長為3，面積為3π的扇形，求圓錐SO的體積．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：①利用BD⊥平面SAC，可得SA⊥BD；
②延長OG交AD于H，則H為AD中點，連接EH，證明平面EGH∥平面SDC，可得∥平面SDC；
③求出圓錐的半徑與高，即可求圓錐SO的體積．

解答： ①解：當AB=AD時，SA⊥BD．
∵ABCD是圓錐SO底面圓O的內接矩形，AB=AD，
∴BD⊥AC，BD⊥SO
∵SO∩AC=O，
∴BD⊥平面SAC，
∴SA⊥BD；
②證明：延長OG交AD于H，則H為AD中點，
連接EH，則在△SAD中，EH∥SD，
∵EH?平面SDC，SD?平面SDC，
∴EH∥平面SDC，
同理GH∥平面SDC，
∵EH∩GH=H，
∴平面EGH∥平面SDC，
∵EG?平面EGH，
∴EG∥平面SDC，
③設圓錐的底面半徑長為r，母線長為l，則l=3，πrl=3π，
∴r=1，
∴圓錐SO的體積

1

3

•π•12•

32-12

=

2 2 π

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查圓錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．