分析 (1)求得sinB,根據(jù)三角形中sinC=sin(A+B),利用兩角和的正弦公式,展開(kāi)求得sinC;
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,由正弦定理求得x與y的關(guān)系,由余弦定理,1={y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5},代入,求得x,y的值,再由三角形面積公式求得其面積.
解答 解:(1)在△ABC中,cosB=\frac{3\sqrt{10}}{10},sinB=\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{\sqrt{10}}{10},
sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinC=\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{3\sqrt{10}}{10}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})•\frac{\sqrt{10}}{10},
=\frac{\sqrt{5}}{5},
cosC=\frac{2\sqrt{5}}{5},
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,
在三角形ABC中,由正弦定理得:\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA},
得:\frac{y}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{2x}{\frac{\sqrt{2}}{2}},
∴y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x,在△ACD中,由余弦定理:AD2=AC2+CD2-2AC•CDcosC,
∵A=\frac{3π}{4},0<C<\frac{π}{4},
cosC=\frac{2\sqrt{5}}{5},
∴1={y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5},
解得:\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=2}\end{array}\right.,
∴S△ABC=\frac{1}{2}AC•BC•sinC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換與正余弦定理相結(jié)合,屬于考試的重點(diǎn),要求學(xué)生靈活掌握,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | \sqrt{10} | C. | \frac{{\sqrt{10}}}{2} | D. | 3 |
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A. | -\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i | B. | -\frac{1}{2}-\frac{7}{2}i | C. | \frac{1}{2}-\frac{7}{2}i | D. | \frac{1}{2}+\frac{7}{2}i |
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A. | y=x2 | B. | y=2sinx | C. | y=2cosx | D. | y=2lnx |
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