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11.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=\frac{3π}{4},cosB=\frac{3\sqrt{10}}{10},AD為BC邊上的中線,且AD=1.
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面積.

分析 (1)求得sinB,根據(jù)三角形中sinC=sin(A+B),利用兩角和的正弦公式,展開(kāi)求得sinC;
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,由正弦定理求得x與y的關(guān)系,由余弦定理,1={y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5},代入,求得x,y的值,再由三角形面積公式求得其面積.

解答 解:(1)在△ABC中,cosB=\frac{3\sqrt{10}}{10},sinB=\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{\sqrt{10}}{10},
sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinC=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{3\sqrt{10}}{10}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})•\frac{\sqrt{10}}{10},
=\frac{\sqrt{5}}{5},
cosC=\frac{2\sqrt{5}}{5},
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,
在三角形ABC中,由正弦定理得:\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA},
得:\frac{y}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{2x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
∴y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x,在△ACD中,由余弦定理:AD2=AC2+CD2-2AC•CDcosC,
∵A=\frac{3π}{4},0<C<\frac{π}{4},
cosC=\frac{2\sqrt{5}}{5}
∴1={y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5},
解得:\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=2}\end{array}\right.,
∴S△ABC=\frac{1}{2}AC•BC•sinC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換與正余弦定理相結(jié)合,屬于考試的重點(diǎn),要求學(xué)生靈活掌握,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.下面是某鋼鐵加工廠所生產(chǎn)鋼管內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的另一個(gè)容量為100的隨機(jī)抽樣樣本.
25.39 25.41 25.40 25.37 25.35 25.40 25.36 25.41 25.47 25.40
25.38 25.45 25.41 25.46 25.34 25.45 25.44 25.34 25.36 25.37
25.34 25.44 25.41 25.33 25.45 25.44 25.39 25.38 25.30 25.41
25.44 25.50 25.38 25.48 25.42 25.43 25.48 25.44 25.41 25.39
25.39 25.41 25.40 25.37 25.35 25.40 25.36 25.41 25.47 25.40
25.40 25.45 25.33 25.51 25.45 25.39 25.37 25.35 25.48 25.41
25.39 25.46 25.56 25.34 25.54 25.38 25.31 25.37 25.29 25.42
25.44 25.42 25.45 25.44 25.41 25.26 25.36 25.43 25.42 25.49
25.47 25.51 25.40 25.50 25.45 25.44 25.40 25.49 25.37 25.38
25.37 25.47 25.40 25.39 25.45 25.42 25.38 25.37 25.35 25.41
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出頻率分布表、畫出頻率分布直方圖,并與書中的頻率分布直方圖比較,你能得出什么結(jié)論?

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A.y=x2B.y=2sinxC.y=2cosxD.y=2lnx

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