分析 (1)求得sinB,根據(jù)三角形中sinC=sin(A+B),利用兩角和的正弦公式,展開(kāi)求得sinC;
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,由正弦定理求得x與y的關(guān)系,由余弦定理,1=${y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5}$,代入,求得x,y的值,再由三角形面積公式求得其面積.
解答 解:(1)在△ABC中,cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)•$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
(2)設(shè)BD=CD=x,AC=y,
在三角形ABC中,由正弦定理得:$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$,
得:$\frac{y}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{2x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$,
∴y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$,在△ACD中,由余弦定理:AD2=AC2+CD2-2AC•CDcosC,
∵A=$\frac{3π}{4}$,0<C<$\frac{π}{4}$,
cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴1=${y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=2}\end{array}\right.$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換與正余弦定理相結(jié)合,屬于考試的重點(diǎn),要求學(xué)生靈活掌握,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | $\sqrt{10}$ | C. | $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$ | D. | 3 |
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A. | -$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2}$i | B. | -$\frac{1}{2}$-$\frac{7}{2}$i | C. | $\frac{1}{2}$-$\frac{7}{2}$i | D. | $\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2}$i |
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A. | y=x2 | B. | y=2sinx | C. | y=2cosx | D. | y=2lnx |
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