Question

15．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，矩形ABB₁A₁的對角線相交于點G，且側面ABB₁A₁⊥平面ABC，AC=CB=BB₁=2，F(xiàn)為CB₁上的點，且BF⊥平面AB₁C．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）求二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BB₁⊥底面ABC，AC⊥BB₁，AC⊥BF，由此能證明AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵矩形ABB₁A₁的對角線相交于點G，且側面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥底面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁，
∵F為CB₁上的點，且BF⊥平面AB₁C，AC?平面AB₁C，
∴AC⊥BF，
∵BB₁∩BF=B，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C（0，0，0），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，2），
設平面A₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
平面B₁CB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角A₁-B₁C-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A₁-B₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．