Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ln（1-x）+a（x+1）（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在（-1，0]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)x和a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)定義域為（-1，1），
a=1時，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{1-x}$+1=$\frac{{-x}^{2}-2x+1}{（x+1）（1-x）}$，
由f′（x）≥0，得x∈（-1，$\sqrt{2}$-1），由f′（x）≤0，得x∈[$\sqrt{2}$-1，1），
∴f（x）的單增區(qū)間為（-1，$\sqrt{2}$-1]，單減區(qū)間為[$\sqrt{2}$-1，1）；
（2）當(dāng)x∈（-1，0]時，∵a＞0，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在x∈（-1，0]上單增，
∴f（x）的最大值是f（0）=a=1，
∴a=1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．