Question

19．已知函數(shù)f（x）=sinx（x≥-3π），將f（x）的零點(diǎn)從小到大排列，得到一個(gè)數(shù)列{a_n}（n∈N^*）
（1）直接寫出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{π}$+4，證明：$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{{_{1}b}_{2}}$+$\frac{1}{{{_{1}b}_{2}b}_{3}}$+$\frac{1}{{{{_{1}b}_{2}b}_{3}b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{{_{1}b}_{2}b}_{3}••{•b}_{2017}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理，令f（x）=0，即可求出函數(shù)的零點(diǎn)，再寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可，
（2）分n≤4或n≥4兩種情況根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可，
（3）求出b_n=n，當(dāng)n＞1時(shí)，再利用$\frac{1}{_{1}_{2}…_{n}}$=$\frac{1}{1×2×3×…×n}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$，再利用放縮即可證明．

解答 解：（1）令f（x）=sinx=0
解得x=kπ，取k∈N，且k≥-3，
則a_n=nπ-4π，n∈N^*．
（2）由（1）知數(shù)列的{a_n}的首項(xiàng)為-3π，公差為π，
{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n；
當(dāng)n≤4時(shí)，S_n=-$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=-$\frac{n（-3π+nπ-4π）}{2}$=$\frac{n（7π-nπ）}{2}$，
當(dāng)n＞4時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n=-a₁-a₂-a₃-a₄+a₅+…+a_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a_n-2（a₁+a₂+a₃+a₄）=$\frac{n（-3π+nπ-4π）}{2}$-12π=$\frac{n（nπ-7π）}{2}$+12π
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（7π-nπ）}{2}，n≤4}\\{\frac{n（nπ-7π）}{2}+12π，n＞4}\end{array}\right.$，
（3）b_n=$\frac{{a}_{n}}{π}$+4=n-4+4=n，
∴b₁b₂b₃…b_n=1×2×3×…×n，
∴$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{{_{1}b}_{2}}$+$\frac{1}{{{_{1}b}_{2}b}_{3}}$+$\frac{1}{{{{_{1}b}_{2}b}_{3}b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{{_{1}b}_{2}b}_{3}••{•b}_{2017}}$，
=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{1×2×3×4}$+…+$\frac{1}{1×2×3×…×2017}$，
＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$，
=1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$=2-$\frac{1}{2007}$＜2

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)定理和數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及放縮法和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題