Question

4．如圖，線段AB在平面α內(nèi)，線段BD⊥AB，線段AC⊥α，且AB=$\frac{7}{2}$，AC=BD=12，CD=$\frac{25}{2}$，求線段BD與平面α所成的角．

Answer 1

分析 由題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出異面直線AC與BD所成角，得到線段BD與平面α所成的角．

解答 解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，
得到下列坐標(biāo)：A（0，0，0），B（0，$\frac{7}{2}$，0），C（0，0，12），設(shè)D（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}=（x，y-\frac{7}{2}，z）•（0，\frac{7}{2}，0）=0$，∴$y=\frac{7}{2}$，
又$|BD|=\sqrt{{x^2}+{z^2}}=12，|CD|=\sqrt{{x^2}+{{（{\frac{7}{2}}）}^2}+{{（z-12）}^2}}=\frac{25}{2}$，
解得：$z=6，x=6\sqrt{3}$．
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{AC}|}}=\frac{1}{2}，θ={60^0}$，
因此線段BD與平面α所成的角等于90⁰-θ=30⁰．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面所成的角，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．