Question

14．如圖，O為原點，A為動點，Rt△OAB的斜邊|OA|=$\sqrt{2}$，AB邊上一點M使$\frac{|BM|}{|BA|}$=$\frac{1}{|OA|}$．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過頂點F（0，1）作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點，△OPQ的面積是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面積的最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得A的軌跡方程，由題意可知，求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{2}x}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，代入A的方程即可求得M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式，及基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．

解答 解：（Ⅰ）由丨OA丨=$\sqrt{2}$，則A的軌跡方程為x²+y²=2，
設(shè)M（x，y），N（x₁，y₁），
由$\frac{丨BM丨}{丨BA丨}$=$\frac{1}{丨OA丨}$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{丨x丨}{丨{x}_{0}丨}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，
代入A的軌跡方程（$\sqrt{2}$x）²+y²=2，整理得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
則M的軌跡方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，（x≠0，±1），
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的斜率存在，直線PQ的方程y=kx+1，（k≠±1），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×丨OF丨×丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+2}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{{k}^{2}+1}×\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當$\sqrt{{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，即k=0，取等號，
∴△OPQ面積的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)想，韋達定理，弦長公式及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．