Question

5．若函數f（x）=x+asinx-$\frac{1}{3}$sin2x在R上單調遞增，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-1，$\frac{1}{3}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [-1，-$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，由題意可得f′（x）≥0恒成立，設t=cosx（-1≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，對t討論，分t=0，0＜t≤1，-1≤t＜0，分離參數，運用函數的單調性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx的導數為：f′（x）=1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx，
由題意可得f′（x）≥0恒成立，
即為1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx≥0，
即有$\frac{5}{3}$-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx≥0，
設t=cosx（-1≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，
當t=0時，不等式顯然成立；
當0＜t≤1時，3a≥4t-$\frac{5}{t}$，
由4t-$\frac{5}{t}$在（0，1]遞增，可得t=1時，取得最大值-1，
可得3a≥-1，即a≥-$\frac{1}{3}$；
當-1≤t＜0時，3a≤4t-$\frac{5}{t}$，
由4t-$\frac{5}{t}$在[-1，0）遞增，可得t=-1時，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤$\frac{1}{3}$，
綜上可得a的范圍是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]，
故選：C．

點評 本題考查導數的運用：求單調性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和換元法，考查函數的單調性的運用，屬于中檔題．