Question

13．已知點P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的右支上一點，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$成立，則λ的值為（　�。�

• A． $\frac{5}{8}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先由${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$得|PF₁=|PF₂|+λ|F₁F₂|=|PF₂|+λ•2c，再由P是右支上的點，得到|PF₁|=|PF₂|+2a，由此能夠求出λ的值．

解答 解：依題意，設△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，
則${S}_{△I{PF}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△I{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|，${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
∵${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$
∴|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，
∵P為雙曲線右支上一點，
∴2a=λ×2c，由雙曲線的方程可知，a=6，b=8，故c=10，
∴λ=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{3}{5}$．
故選C．

點評 本題考查拋物線的定義，三角形的面積公式，考查雙曲線的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，屬于中檔題．