Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．若a＞$\frac{1}{4}$，且當x∈[1，4a]時，|f′（x）|≤12a恒成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]
• B． （$\frac{1}{4}$，1]
• C． [-$\frac{1}{3}$，1]
• D． [0，$\frac{4}{5}$]

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為求導函數(shù)的絕對值在x∈[1，4a]上的最大值即可．

解答 解：f′（x）=3x²-6ax-9a²的圖象是一條開口向上的拋物線，關于x=a對稱．
若$\frac{1}{4}$＜a≤1，則f′（x）在[1，4a]上是增函數(shù)，
從而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，最大值是f′（4a）=15a²．
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，于是有3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a．
由f′（1）≥-12a得-$\frac{1}{3}$≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤$\frac{4}{5}$．
所以a∈（$\frac{1}{4}$，1]∩[-$\frac{1}{3}$，1]∩[0，$\frac{4}{5}$]，即a∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．
若a＞1，則∵|f′（a）|=15a²＞12a．故當x∈[1，4a]時|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．