Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（a+\frac{1}{a}）x+lnx$，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的方程；
（Ⅱ）當a≠1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的導數(shù)值，再求出f（1），代入直線方程的點斜式求切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，根據(jù)a的范圍由導函數(shù)的零點對函數(shù)定義域分段，利用導函數(shù)在各區(qū)間段內的符號判斷原函數(shù)的單調性；

解答 解：（Ⅰ）解：當a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+lnx，f′（x）=x-$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-$\frac{1}{2}$，f（1）=-2．
∴切線方程為：y+2=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：x+2y+3=0；
（Ⅱ）f′（x）x-（a+$\frac{1}{a}$）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=$\frac{1}{a}$，
①若0＜a＜1，a＜$\frac{1}{a}$，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（0，a）	a	（a，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴f（x）在區(qū)間（0，a）和（$\frac{1}{a}$，+∞）內是增函數(shù)，在（a，$\frac{1}{a}$，）內是減函數(shù)；
②若a＞1，a＞$\frac{1}{a}$，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）和（a，+∞）內是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）內是減函數(shù)．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查數(shù)學轉化思想方法．