Question

19．已知可導函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞f（x），則當a≥0時，f（a）和e^af（0）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）大小關系為（　　）

• A． f（a）≥e^af（0）
• B． f（a）＞e^af（0）
• C． f（a）≤e^af（0）
• D． f（a）＜e^af（0）

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)研究其單調性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）為單調增函數(shù)，最后由a＞0，代入函數(shù)解析式即可得答案．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞f（x），
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴函數(shù)g（x）為R上的增函數(shù)
∵a≥0，∴g（a）≥g（0）
即 $\frac{f（a）}{{e}^{a}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
∴f（a）≥e^af（0），
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，恰當?shù)臉嬙旌瘮?shù)，并能利用導數(shù)研究其性質是解決本題的關鍵．