Question

12．如圖1，平面五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形．現(xiàn)將△ADE沿AD折起，得到四棱錐E-ABCD（如圖2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大��；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE？若存在，求$\frac{EF}{EA}$的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥DE，從而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接EO，推導(dǎo)出EO⊥AD，從而EO⊥平面ABCD．以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O 垂直于AD的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小．
（Ⅲ）設(shè)BE的中點(diǎn)為G，連接CG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形CDFG是平行四邊形，從而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE，此時(shí)$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{2}$．

解答 （本小題共14分）
證明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．
因?yàn)锳D∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．
又AB?平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..…（4分）
解：（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接EO．
因?yàn)椤鰽DE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．
因?yàn)?nbsp;平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD=AD，EO?平面ADE，
所以EO⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O 垂直于AD的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示．
由已知，得E（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），C（-1，1，0）．
所以$\overrightarrow{CE}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（2，1，0）．
設(shè)平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=2x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$）．
又平面ADE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小為$\frac{π}{4}$．…（10分）
（Ⅲ）在棱AE上存在點(diǎn)F，使得DF∥平面BCE，此時(shí)$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{2}$．
理由如下：
設(shè)BE的中點(diǎn)為G，連接CG，F(xiàn)G，
則FG∥AB，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}AB$．
因?yàn)锳B∥CD，且$CD=\frac{1}{2}AB$，所以FG∥CD，且FG=CD，
所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．
因?yàn)镃G?平面BCE，且DF?平面BCE，
所以DF∥平面BCE..…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．