Question

6．已知二項式（ax+1）⁷展開式的各項系數(shù)和為128，（ax+1）⁷=a₀+a₁（ax+3）+a₂（ax+3）²+…+a₇（ax+3）⁷，則a₄=-280．

Answer 1

分析 先求出a=1，從而（x+1）⁷=a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）²+…+a₇（x+3）⁷=[（x+3）-2]⁷，再由${T}_{r+1}={C}_{7}^{r}（x+3）^{7-r}（-2）^{r}$，令7-r=4，得r=3，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵二項式（ax+1）⁷展開式的各項系數(shù)和為128，
∴（a+1）⁷=128，解得a=1，
∵（ax+1）⁷=a₀+a₁（ax+3）+a₂（ax+3）²+…+a₇（ax+3）⁷，
∴（x+1）⁷=a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）²+…+a₇（x+3）⁷=[（x+3）-2]⁷，
${T}_{r+1}={C}_{7}^{r}（x+3）^{7-r}（-2）^{r}$，
由7-r=4，得r=3，
∴${a}_{4}=（-2）^{3}{C}_{7}^{3}$=-280．
故答案為：-280．

點評 本題考查二項式展開式的系數(shù)的求法，考查二項式定理、通項公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．