Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx，
（Ⅰ）f（x）在點(diǎn)P（1，3）處的切線為y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求f（x）在[-1，4]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知可得f′（1）=1，f（1）=3，聯(lián)立方程組求得a，b的值；
（Ⅱ）把a(bǔ)，b的值代入f（x），由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把函數(shù)的定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得最值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-4ax+b，…（2分）
∵f（x）在P（1，3）處的切線為y=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3-4a+b=1}\\{f（1）=1-2a+b=3}\end{array}\right.$，…（4分）
解得：a=2，b=6；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3${x}^{2}-8x+6=3（x-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{2}{3}$，
f′（x）在[-1，4]上恒大于0，從而f（x）在[-1，4]上單調(diào)遞增．…（10分）
∴f（x）_min=f（-1）=-11，f（x）_max=f（4）=24．
∴f（x）的值域?yàn)閇-11，24]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．