Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n-n．
（1）證明：{a_n-n}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{b_n}+1）（{b_{n+1}}+1）}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-n+1，變形為a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可證明．
（2）由${a_n}-n=（{a_1}-1）•{2^{n-1}}={2^n}$，可得${b_{n+1}}={b_n}-n+{a_n}，且{a_n}-n={2^n}$，${b_{n+1}}-{b_n}={2^n}$，利用累加求和方法可得b_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又因?yàn)閍₁-1=2，所以{a_n-n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：∵${a_n}-n=（{a_1}-1）•{2^{n-1}}={2^n}$，
∵${b_{n+1}}={b_n}-n+{a_n}，且{a_n}-n={2^n}$，
∴${b_{n+1}}-{b_n}={2^n}$，
$\left\{\begin{array}{l}{b_2}-{b_1}={2^1}\\{b_3}-{b_2}={2^2}\\…\\{b_n}-{b_{n-1}}={2^{n-1}}\end{array}\right.$
累加求和得到${b_n}=2+\frac{{2•（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}={2^n}（n≥2）$，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2，∴${b_n}={2^n}$．
∴${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{b_n}+1）（{b_{n+1}}+1）}}=\frac{2^n}{{（{2^n}+1）（{2^{n+1}}+1）}}=\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}$，
∴T_n=$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．