Question

19．設不等式組$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為P，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x+2y-6≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域為Q
（1）在區(qū)域P中任取一點M，求M∈Q的概率；
（2）在區(qū)域Q中任取一點N（x，y），求$\frac{y}{x}$≥$\frac{3}{4}$ 的概率．

Answer 1

分析 首先畫出可行域，由題意，分別利用幾何意義求出大圓區(qū)域的面積，利用面積比求概率．

解答 解：平面區(qū)域如圖得到區(qū)域P的面積為9，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x+2y-6≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+2y-6=0}\end{array}\right.$得到A（$\frac{4}{5}$，$\frac{9}{5}$），所以平面區(qū)域為Q的面積為$\frac{1}{2}×3×（2-\frac{4}{5}）=\frac{9}{5}$，
則（1）在區(qū)域P中任取一點M，求M∈Q的概率$\frac{\frac{9}{5}}{9}=\frac{1}{5}$；
（2）在區(qū)域Q中任取一點N（x，y），$\frac{y}{x}$≥$\frac{3}{4}$ 的區(qū)域如圖中區(qū)域ACED，其中E（2，$\frac{3}{2}$），D（$\frac{4}{3}$，1），
所以面積為$\frac{9}{5}-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}=\frac{13}{10}$，所以所求概率為$\frac{\frac{13}{10}}{\frac{9}{5}}=\frac{13}{18}$．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題以及幾何概型的概率求法；明確目標函數(shù)的幾何意義，利用面積比求概率．