1．設F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，則雙曲線C的離心率是（　�。�
A．$\sqrt{2}$B．2C．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$D．$\frac{\sqrt{14}}{3}$

分析 先由2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，得出A為線段FB的中點，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對應的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，延長FA與另一條漸近線交于點B．所以FB⊥OA，又因為2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，所以A為線段FB的中點，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，
∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3，e2=4⇒e=2．
故選：B．

點評 本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．已知${log_{\frac{2}{3}}}a＜1$，則a的取值范圍是（　　）
A．（0，1）B．（0，$\frac{2}{3}$）C．（$\frac{2}{3}$，1）D．（$\frac{2}{3}$，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．若直線ax+by+1=0（ab＞0）被圓（x+4）2+（y+1）2=16截得的弦長為8，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　　）
A．8B．12C．16D．20

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知符號函數(shù)sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，（x＜0）}\\{0，（x=0）}\\{1，（x＞0）}\end{array}\right.$．
（1）sgn（2x）=1；
（2）設a=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$，b=3，則$\frac{a+b+（a-b）•sgn（a-b）}{2}$的值為3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

16．若A（1，-2）、B（2，1）、C（3，x），且A、B、C三點共線，則x=4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．已知函數(shù)f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab（a≠0），當x∈（-3，2）時f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時f（x）＜0，若不等式ax2+bx+c≤0在[1，4]上恒成立，則c∈（　�。�
A．（-∞，-2]B．（-∞，-$\frac{25}{12}$]C．（-∞，50]D．（-∞，-1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．直線$\sqrt{2}$ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點（期中a，b是實數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標原點），求點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．已知函數(shù)f（x）=sinx（cosx-sinx），則下列說法正確的為（　　）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
B．f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{8}$
C．對稱f（x）的最大值為$\sqrt{2}$
D．將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度后會得到一個奇函數(shù)的圖象

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．設f（x）=$\frac{1}{x}$，則$\lim_{x→a}\frac{f（x）-f（a）}{x-a}$等于-$\frac{1}{{a}^{2}}$．

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