Question

15．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁上的點(diǎn)，DC₁⊥BD
（Ⅰ）求證：D為AA₁中點(diǎn)；
（Ⅱ）求直線BC₁與平面BDC所成角正弦值大小；
（Ⅲ）在△ABC邊界及內(nèi)部是否存在點(diǎn)M，使得B₁M⊥面BDC，存在，說明M位置，不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意以CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明D為AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直線BC₁與平面BDC所成角正弦值．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推導(dǎo)出在△ABC邊界及內(nèi)部是不存在點(diǎn)M，使得B₁M⊥面BDC．

解答 證明：（Ⅰ）根據(jù)題意以CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∴D（1，0，h），C₁（0，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，0，2-h），$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，h），
∴-1+h（2-h）=0，解得h=1，
∴D為AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅱ）$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，2），
設(shè)面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=y=0}\end{array}\right.$，設(shè)x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)直線BC₁與平面BDC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線BC₁與平面BDC所成角正弦值大小為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}=（x，y-1，-2）$，
∵B₁M⊥面BDC，∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}=λ（1，0，-1）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ}\\{y-1=0}\\{-λ=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∵x＞1，∴在△ABC邊界及內(nèi)部是不存在點(diǎn)M，使得B₁M⊥面BDC．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)為線段中點(diǎn)的證明、線面角正弦值求法、滿足線面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．