Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R），，其中x∈（0，e]
（1）若a=1，求f（x）的極小值；
（2）在（1）條件下證明；
（3）是否存在實數(shù)a＞0，使f（x）的最小值為3，如果存在，求出實數(shù)a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax-lnx，f′（x）=1-=，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減；
當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增．…（3分）
∴f（x）的極小值為f（1）=1．…（4分）
（2）∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e）上的最小值為1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1．…（6分）
令h（x）=g（x）+=+，h′（x）=，
當0＜x≤e時，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，e]上單調(diào)遞增，
∴h（x）≤h（e）=+＜+=1，…（9分）
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+．…（10分）
（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈[0，e]有最小值3，f′（x）=a-=，
①當0＜＜e時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增．
f（x）_min=f（）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．…（13分）
②當≥e時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=（舍去），
所以，此時f（x）無最小值．…（15分）
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時f（x）有最小值為3．…（16分）
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)小于0得單調(diào)減區(qū)間，導(dǎo)數(shù)大于0的增區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值；
（2）確定f（x）在（0，e）上的最小值為1，h（x）=g（x）+ 在（0，e]上的最大值為1，從而得證；
（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈[0，e]有最小值3，由于f′（x）=a-=，故要進行分類討論：
①0＜＜e；②≥e，從而得解．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，同時考查了存在性問題．