Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓C₂：x²+y²=r²都過點P（-1，0），且橢圓C₁的離心率為

2

2

，過點P作斜率為k₁，k₂的直線分別交橢圓C₁，圓C₂于點A，B，C，D（如圖），k₁=λk₂，若直線BC恒過定點Q（1，0），則λ=

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)k₁=λk₂，應(yīng)該找到k₁，k₂的關(guān)系式，再結(jié)合直線分別與直線相交，交點為A，B，C，D，用k把相應(yīng)的點的坐標表示出來（將直線代入橢圓的方程消去關(guān)于x的一元二次方程，借助于韋達定理將A，B，C，D表示出來），再想辦法把Q點坐標表示出來，再利用B，C，Q三點共線構(gòu)造出關(guān)于k₁，k₂的方程，化簡即可．

解答： 解：C1：x2+2y2=1；C2：x2+y2=1
設(shè)A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、C（x_C，y_C）、D（x_D，y_D），
由

x2+2y2=1 y=k1(x+1)

得：(1+2

k

2 1

)x2+4

k

2 1

x+2

k

2 1

-1=0，
∵x_P=-1，∴xA=

1-2 k 2 1

1+2 k 2 1

，則點A的坐標為：A(-1+

2

1+2 k 2 1

，

2k1

1+2 k 2 1

)
由

x2+y2=1 y=k1(x+1)

得：(1+

k

2 1

)x2+2

k

2 1

x+

k

2 1

-1=0，
∵x_P=-1，∴xB=

1- k 2 1

1+ k 2 1

，則點B的坐標為：B(-1+

2

1+ k 2 1

，

2k1

1+ k 2 1

)
同理可得：C(-1+

2

1+2 k 2 2

，

2k2

1+2 k 2 2

)，D(-1+

2

1+ k 2 2

，

2k2

1+ k 2 2

)，
根據(jù)B、C、Q三點共線，

BC

=λ

CQ

，結(jié)合Q（1，0）
所以(

2

1+2k22

-

2

1+2k12

，

2k2

1+k22

-

2k1

1+k12

)=λ（2-

2

1+2k22

，-

2k2

1+2k22

）
化簡得λ=2
故答案為：2．

點評：本題的計算量較大，關(guān)鍵是如何找到k₁，k₂間的關(guān)系表示出來，最終得到λ的值．