解:(1)f(x)為奇函數(shù),
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/30365.png)
得,(x-5)(x+5)>0,解得x>5或x<-5,
∴函數(shù)的定義域是{x|x>5或x<-5},
∵f(-x)=
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=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù);
(2)方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414139.png)
在(5,+∞)上有解,
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414140.png)
,則對稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/856.png)
①
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414141.png)
時,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414142.png)
且a≠1,則h(5)<0,無解;
②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414143.png)
時,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414144.png)
,則△≥0解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414145.png)
,
綜上
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414145.png)
,
法二:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8075.png)
在(5,+∞)有解,設(shè)x-5=t,則t∈(0,+∞)
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414146.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414147.png)
,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414148.png)
,當且僅當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414149.png)
取等號,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414147.png)
值域為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414150.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/30372.png)
,
(3)若存在這樣的m,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414151.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414152.png)
為常數(shù),
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414153.png)
,
則(k-1)x
2+(m-2)(1-k)x-3(m-5)-7k(m+5)=0對定義域內(nèi)的x恒成立,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414154.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/267008.png)
,
所以存在這樣的m=-2.
分析:(1)先由對數(shù)的真數(shù)大于零和分式不等式的解法,求出函數(shù)的定義域,利用奇偶函數(shù)定義進行判定,得到f(-x)=-f(x),所以說明f(x)為奇函數(shù);
(2)由題意得
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在(5,+∞)上有解,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414140.png)
,求出對稱軸并對其分類討論,借助于二次函數(shù)得到求出a的范圍,
法二:利用分離常數(shù)法得
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在(5,+∞)上有解,設(shè)x-5=t,求出t的范圍代入解析式后化簡,利用基本不等式求出a的范圍;
(3)假設(shè)存在這樣的m滿足條件,由對數(shù)的運算對f(x+2)+f(m-x)化簡和設(shè)值,轉(zhuǎn)化為:(k-1)x
2+(m-2)(1-k)x-3(m-5)-7k(m+5)=0對定義域內(nèi)的x恒成立,列出等價方程組進行求解.
點評:本題對數(shù)函數(shù)奇偶性的判斷,對數(shù)的運算性質(zhì)應(yīng)用,基本不等式求函數(shù)最值的應(yīng)用,方程的根與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化問題,以及存在性的問題的處理等,重點是轉(zhuǎn)化思想的運用,綜合性強,難度較大.