【答案】
分析：（I）f（x）=|x-a|-lnx的定義域為（0，+∞）．a=1，f（x）=|x-1|-lnx，當x≥1時，
，故f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增函數，當0＜x＜1時，
，故f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減函數，由此能求出f（x）的單調區(qū)間及f（x）的最小值．
（II）分a≥1時，0＜a＜1時和a≤0時三種情況，分別計算f（x）的導數，并由f′（x）的符號討論f（x）的單調區(qū)間．
（III）由a=1，知f（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，故x-1＞lnx在x＞1時成立．若n∈N
*，n＞1，則令x=
＞1，則
，由此能夠證明n∈N
*時，
．
解答：解：（I）f（x）=|x-a|-lnx的定義域為（0，+∞）．
a=1，f（x）=|x-1|-lnx，
當x≥1時，f（x）=x-1-lnx，
，
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增函數，
當0＜x＜1時，f（x）=1-x-lnx，
，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減函數，
故a=1時，f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
f（x）
min=f（1）=0．
（II）若a≥1時，當x≥a時，f（x）=x-a-lnx，
，
則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是遞增的；
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，
，
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上是遞減的，
若0＜a＜1，當x≥a時，f（x）=x-a-lnx，
，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，f（x）在區(qū)間[a，1）上是遞減的．
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，
，
f（x）在區(qū)間（0，a）上是遞減的，
而f（x）在x=a處連續(xù)，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，在區(qū)間（0，1）上是遞減的，
若a≤0，f（x）=x-lnx，
，x＞1，f′（x）＞0，0＜x＜1，f′（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減的．
綜上所述，
當a≥1時，
a≤0，f（x）=x-lnx，
f（x）的增區(qū)間是[a，+∞），減區(qū)間是（0，a）．
當a＜1時，f（x）的遞增區(qū)間是{1，+∞），減區(qū)間是（0，1）．
（III）由（I）知：a=1
f（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增．
∴x＞1時，f（x）=x-1-lnx＞f（1）=0，
即x-1＞lnx在x＞1時成立．
若n∈N
*，n＞1，則令x=
＞1，
則
，
即
，
∴
=ln
，
∴n∈N
*，n＞1時，1+
，
∵n=1時，不等式即為
成立，
故n∈N
*時，
．
點評：本題考查利用導數求函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是計算量大，容易失誤，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
．
