【題目】某地區(qū)在一次考試后,從全體考生中隨機抽取44名,獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績(x)和物理成績(y),繪制成如圖散點圖:
根據(jù)散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,但圖中有兩個異常點A,B.經(jīng)調(diào)查得知,A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常,B考生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確,剔除這兩組數(shù)據(jù)后,對剩下的數(shù)據(jù)作處理,得到一些統(tǒng)計的值:其中xi,yi分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績、物理成績,i=1,2,…,42,y與x的相關(guān)系數(shù)r=0.82.
(1)若不剔除A,B兩名考生的數(shù)據(jù),用44組數(shù)據(jù)作回歸分析,設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為r0.試判斷r0與r的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并估計如果B考生加了這次物理考試(已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>125分),物理成績是多少?(精確到個位);
(3)從概率統(tǒng)計規(guī)律看,本次考試該地區(qū)的物理成績ξ服從正態(tài)分布,以剔除后的物理成績作為樣本,用樣本平均數(shù)作為μ的估計值,用樣本方差s2作為σ2的估計值.試求該地區(qū)5000名考生中,物理成績位于區(qū)間(62.8,85.2)的人數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望.
附:①回歸方程中:
②若,則
③11.2
【答案】(1)r0<r,理由詳見解析;(2),81分;(3)3413.
【解析】
(1)結(jié)合散點圖,可得出結(jié)論;
(2)利用題中給的相關(guān)系數(shù),最小二乘法寫出回歸直線方程,再令x=125,即可算出答案;
(3)算出,s2,得到ξ~N(74,125),11.2,所以P(63.8<ξ<85.2)=因為,即可算出期望.
(1)r0<r.
理由如下:由圖可知,y與x成正相關(guān)關(guān)系,
①異常點 A,B 會降低變量之間的線性相關(guān)程度.
②44個數(shù)據(jù)點與其回歸直線的總偏差更大,回歸效果更差,所以相關(guān)系數(shù)更小.
③42個數(shù)據(jù)點與其回歸直線的總偏差更小,回歸效果更好,所以相關(guān)系數(shù)更大.
④42個數(shù)據(jù)點更貼近其回歸直線l.
⑤44個數(shù)據(jù)點與其回歸直線更離散.
(2)由題中數(shù)據(jù)可得:
,
所以,
又因為,所以,
,所以,
將代入,得,
所以估計B同學(xué)的物理成績約為81分.
(3),
所以ξ~N(74,125),又因為11.2
所以,
因為,所以,
即該地區(qū)本次考試物理成績位于區(qū)間(62.8,85.2)的數(shù)學(xué)期望為3413.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和的極值;
(2)對于任意的,,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某商場春節(jié)期間推出一項優(yōu)惠活動,活動規(guī)則如下:消費額每滿300元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在區(qū)域Ⅰ返券60元;停在區(qū)域Ⅱ返券30元;停在區(qū)域Ⅲ不返券.例如:消費600元,可抽獎2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(Ⅰ)若某位顧客消費300元,求返券金額不低于30元的概率;
(Ⅱ)若某位顧客恰好消費600元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為(元).求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】雙曲線定位法是通過測定待定點到至少三個已知點的兩個距離差所進(jìn)行的一種無線電定位.通過船(待定點)接收到三個發(fā)射臺的電磁波的時間差計算出距離差,兩個距離差即可形成兩條位置雙曲線,兩者相交便可確定船位.我們來看一種簡單的“特殊”狀況;如圖所示,已知三個發(fā)射臺分別為,,且剛好三點共線,已知海里,海里,現(xiàn)以的中點為原點,所在直線為軸建系.現(xiàn)根據(jù)船接收到點與點發(fā)出的電磁波的時間差計算出距離差,得知船在雙曲線的左支上,根據(jù)船接收到臺和臺電磁波的時間差,計算出船到發(fā)射臺的距離比到發(fā)射臺的距離遠(yuǎn)30海里,則點的坐標(biāo)(單位:海里)為( )
A.B.
C.D.
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【題目】概率論起源于博弈游戲.17世紀(jì),曾有一個“賭金分配“的問題:博弈水平相當(dāng)?shù)募、乙兩人進(jìn)行博弈游戲,每局比賽都能分出勝負(fù),沒有平局.雙方約定,各出賭金48枚金幣,先贏3局者可獲得全部賭金;但比賽中途因故終止了,此時甲贏了2局,乙贏了1局.向這96枚金幣的賭金該如何分配?數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率“的知識,合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是( )
A.甲48枚,乙48枚B.甲64枚,乙32枚
C.甲72枚,乙24枚D.甲80枚,乙16枚
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【題目】小芳、小明兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子做游戲,規(guī)則如下:若擲出的點數(shù)之和為4的倍數(shù),則由原投擲人繼續(xù)投擲;若擲出的點數(shù)之和不是4的倍數(shù),則由對方接著投擲.
(1)規(guī)定第1次從小明開始.
(。┣笄4次投擲中小明恰好投擲2次的概率;
(ⅱ)設(shè)游戲的前4次中,小芳投擲的次數(shù)為,求隨機變量的分布列與期望.
(2)若第1次從小芳開始,求第次由小芳投擲的概率.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓經(jīng)過點,且點與橢圓的左、右頂點連線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓上存在兩點,使得的垂心(三角形三條高的交點)恰為坐標(biāo)原點,試求直線的方程.
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【題目】已知橢圓的右焦點為F.
(1)求點F的坐標(biāo)和橢圓C的離心率;
(2)直線過點F,且與橢圓C交于P,Q兩點,如果點P關(guān)于x軸的對稱點為,判斷直線是否經(jīng)過x軸上的定點,如果經(jīng)過,求出該定點坐標(biāo);如果不經(jīng)過,說明理由.
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