Question

19．下面的圖形無(wú)限向內(nèi)延續(xù)，最外面的正方形的邊長(zhǎng)是1，從外到內(nèi)，第n個(gè)正方形與其內(nèi)切圓之間的深色圖形面積記為${S_n}（n∈{N^*}）$．
（1）試寫出S_n+1與${S_n}（n∈{N^*}）$的遞推關(guān)系式；
（2）設(shè)${T_n}={S_1}+{S_2}+…+{S_n}（n∈{N^*}）$，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)第n（n∈N^*）個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a_n，則其內(nèi)切圓半徑為$\frac{a_n}{2}$，第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a_n}$，其內(nèi)切圓半徑為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a_n}$，然后求解S_n+1與${S_n}（n∈{N^*}）$的遞推關(guān)系式．
（2）求出前n項(xiàng)和，利用等比數(shù)列求和化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）設(shè)第n（n∈N^*）個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a_n，則其內(nèi)切圓半徑為$\frac{a_n}{2}$，
第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a_n}$，其內(nèi)切圓半徑為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a_n}$，
所以${S_n}=a_n^2-π{（\frac{a_n}{2}）^2}=a_n^2（1-\frac{π}{4}）$，
${S_{n+1}}={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a_n}）^2}-π{（\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a_n}）^2}=a_n^2（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）=\frac{1}{2}{S_n}$，（n∈N^*）．
（2）由（1）${S_1}=（1-\frac{π}{4}）$，${S_2}=（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）$，…，${S_n}=（1-\frac{π}{4}）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
得T_n=S₁+S₂+…+S_n=$（1-\frac{π}{4}）（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）$=$（2-\frac{π}{2}）（1-\frac{1}{2^n}）（n∈{N^*}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．