Question

5．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如表的統(tǒng)計資料：

使用年限x（年）	2	3	4	5	6
維修費用y（萬元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：
（1）線性回歸直線方程；
（2）根據(jù)回歸直線方程，估計使用年限為20年時，維修費用是多少？
回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$的系數(shù)為：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}=\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（2）當(dāng)自變量為20時，代入線性回歸方程，求出維修費用，這是一個預(yù)報值．

解答 解：（1）由題意知$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\stackrel{∧}$=$\frac{2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.23，
$\stackrel{∧}{a}$=5-4×1.23=0.08，
∴$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08
（2）當(dāng)自變量x=20時，預(yù)報維修費用是y=1.23×20+0.08=24.68（萬元），
即估計使用20年時，維修費用是24.68萬元．

點評 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報值的求法，是一個新課標中出現(xiàn)的新知識點，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過類似的題目．