Question

【題目】某公司航拍宣傳畫報(bào)，為了凸顯公司文化，選擇如圖所示的邊長為2百米的正三角形空地進(jìn)行布置拍攝場景，在的中點(diǎn)處安裝中央聚光燈，為邊上得可以自由滑動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，其中設(shè)置為普通色彩燈帶(燈帶長度可以自由伸縮)，線段部分需要材料 (單位:百米)裝飾用以增加拍攝效果因材料價(jià)格昂貴，所以公司要求采購材料使用不造成浪費(fèi).

（1）當(dāng)，與垂直時(shí)，采購部需要采購多少百米材料？

（2）為了增加拍攝動(dòng)態(tài)效果需要，現(xiàn)要求點(diǎn)在邊上滑動(dòng)，且，則購買材料的范圍是多少才能滿足動(dòng)態(tài)效果需要又不會造成浪費(fèi).

Answer 1

【答案】（1）（百米）；

（2）（單位為百米）.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>與垂直，所以三角形是直角三角形，利用銳角三角函數(shù)，可以求出的長，這樣可以求出的長，在中，利用正弦定理可以求出的長，這樣可以求出的長,這樣可以求出采購部需要采購材料的數(shù)量;

（2）設(shè)，根據(jù)，可以求出的取值范圍，由和三角形等邊三角形，可以證明出與相似,這樣可以得到之間的關(guān)系,這樣可以用關(guān)于的式子表示，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍.

（1）三角形等邊三角形，是的中點(diǎn)，因此,,因?yàn)?/span>與重直，所以三角形是直角三角形，因此有,

所以,因此，在中，由正弦定理可知：

, ，因此,所以采購部需要采購材料為（百米）；

（2）設(shè)，當(dāng)與重合時(shí),由，可求得，所以，

因?yàn)?/span>，所以,而,

所以,，因此與相似，

所以有，設(shè)，，

，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，有最大值2，

，所以，購買材料的范圍是（單位為百米）.