Question

如圖，橢圓的頂點為A₁、A₂、B₁、B₂，焦點為F₁，
F₂，，

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)l是過原點的直線，直線n與l垂直相交于P點，且n與橢圓相交于A，B兩點，|OP|=1，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|A₁B₁|=，知a²+b²=7，由，知a=2c，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線n的斜率不存在時，由對稱性取P（1，0），A（1，），B（1，-），則．當直線n的斜率存在時，令A(yù)B：y=kx+m，由|OP|=1，知m²=1+k²，．聯(lián)立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，再利用韋達定理進行運算能夠求出的取值范圍．
解答：解：（1）由|A₁B₁|=，知a²+b²=7，①
由，知a=2c，②
又b²=a²-c²，③
由①②③解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當直線n的斜率不存在時，由對稱性取P（1，0），A（1，），B（1，-），
則．
當直線n的斜率存在時，令A(yù)B：y=kx+m，
∵|OP|=1，∴，即m²=1+k²，
∵|OP|=1，∴．
聯(lián)立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴，（*）
∴，
將（*）代入并化簡得，
∴，
由1+k²=m²，得m²≥1，∴，∴，
綜上所述，的取值范圍是（]．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓、向量的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．