Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D為AC的中點，AB⊥B1D.

(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；

(2)在線段CC1(不含端點)上，是否存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）在線段CC1上存在點E，

【解析】試題分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理先證明線面垂直OD⊥平面ABB1A1 然后再證明面面垂直（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用向量法進行求解

解析：(1)證明　取AB的中點O，連接OD，OB1.因為B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.

又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，

所以AB⊥平面B1OD，

因為OD平面B1OD，所以AB⊥OD.

由已知條件知，BC⊥BB1，

又OD∥BC，所以OD⊥BB1.

因為AB∩BB1＝B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，

所以OD⊥平面ABB1A1.

因為OD平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.

(2)解　由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，||為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系，連接B1C.

由題設(shè)知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，

∴＝(0,1，－)，＝(1,0，－)，＝(－1,0，)，

＝(1,2，－)，設(shè)＝λ (0<λ<1)，

由＝＋＝(1－λ，2， (λ－1))，設(shè)平面BB1D的法向量為m＝(x1，y1，z1)，

則得

令z1＝1，則x1＝y1＝，

所以平面BB1D的法向量為m＝(，，1)．

設(shè)平面B1DE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則

得

令z2＝1，則x2＝，y2＝，

所以平面B1DE的一個法向量n＝(，，1)．

設(shè)二面角E－B1D－B的大小為θ，

則cosθ＝＝＝－.

解得λ＝.

所以在線段CC1上存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－，此時＝.