Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為橢圓C上任意一點(diǎn)，以P為圓心，OP為半徑的圓P與以橢圓C的右焦點(diǎn)E為圓心，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以$\sqrt{5}$為半徑的圓F相交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)短軸的長(zhǎng)求得b，再根據(jù)離心率得出a，c關(guān)系，求得a的值，求得橢圓方程；
（2）求得焦點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線AB方程，由題意可知，求得丨AB丨及點(diǎn)P到直線AB的最大值丨PC丨，根據(jù)三角形面積公式即可求得△PAB面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可得：2b=2，b=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=2，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）由（1）可知，c=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，1）
∴圓的方程為（x-$\sqrt{3}$）²+y²=5，
設(shè)P（x₀，y₀）則圓P的方程為：（x-x₀）²+（y-x₀）²=x₀²+x₀²，
即x²+y²-2x₀x-2y₀y=0，
直線AB的方程為：（x₀-$\sqrt{3}$）x+y₀y-1=0，
連接PF，交AB于C點(diǎn)，則點(diǎn)F到直線AB的距離丨FC丨=$\frac{丨\sqrt{3}（{x}_{0}-\sqrt{3}）-1丨}{\sqrt{（{x}_{0}-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-2\sqrt{3}{x}_{0}+3}}$，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，即$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}=1$，
∴丨FC丨=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）-2\sqrt{3}{x}_{0}+4}}$=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}-2\sqrt{3}{x}_{0}+4}}$=$\frac{丨\sqrt{3}{x}_{0}-4丨}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}-2）^{2}}}$=2，
連接BF在Rt△FCB中，丨BC丨=$\sqrt{丨FB{丨}^{2}-丨FC{丨}^{2}}$=$\sqrt{5-4}$=1，
∴丨AB丨=2丨BC丨=2，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，
∴丨FC丨_max=$\sqrt{3}$+2，
又丨PC丨=丨PF丨-丨FC丨=丨PF-2丨，
∴丨PC丨_max=$\sqrt{3}$，
△PAB面積的最大值：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．要熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b和c的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式，考查了推理能力、計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．