Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-1，g（x）=lnx，a∈R，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求曲線y=g（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（1），g（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，求a的范圍即可．

解答 解（1）g′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（1）=1，g（1）=0，
故切點(diǎn)（1，0），
所以切線方程y=x-1-----（4分）
（2）F（x）=ax-1-lnx，F(xiàn)′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0）
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，
∴F（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{a}$+∞）單調(diào)遞增---（8分）
（3）∵a＞0，∴F（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴F（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$+lna＞0，
令h（a）=1+lna-$\frac{1}{a}$，
h′（a）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，故h（a）在（0，+∞）遞增，
而h（1）=0，故a＞1，
∴a的取值范圍（1，+∞）----（12分）

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．