Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用降次公式，輔助角公式化簡，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求出內(nèi)層函數(shù)范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x．
化簡可得：f（x）=sin2x-1+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$．k∈Z．
可得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{π}{8}$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．
（II）由（I）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值為$\sqrt{2}×（-1）-1$=$-\sqrt{2}-1$．
故得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值為-（$\sqrt{2}+1$）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用公式化簡是解決本題的關(guān)鍵．