Question

7．在△ABC中，A（-1，0），B（2，0），C（-1，3），直線BC與y軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D的直線l平分△ABC的面積，則直線l的方程為8x-y+2=0．

Answer 1

分析 先由題意求得△ABC的面積和點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E（m，0），由△BDE的面積S等于△ABC的面積的一半，求得m的值，可得直線l的方程．

解答 解：△ABC中，∵A（-1，0），B（2，0），C（-1，3），
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$•AB•y_C=$\frac{1}{2}$•3•3=$\frac{9}{2}$．
直線BC的方程為$\frac{y-0}{3-0}$=$\frac{x-2}{-1-2}$，即x+y-2=0，
故它與y軸的交點(diǎn)D（0，2），
顯然，當(dāng)過點(diǎn)D的直線l與x軸平行或垂直時，均不滿足條件，
設(shè)過點(diǎn)D的直線l與AB邊的交點(diǎn)為E，則△BDE的面積為$\frac{9}{4}$，
如圖：
設(shè)點(diǎn)E（m，0），則m∈（-1，2），
則由截距式得到直線DE的方程為$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{2}$=1，
即直線l：2x+my-2m=0．
設(shè)點(diǎn)B到直線DE的距離為d，
由△BDE的面積S=$\frac{1}{2}$•DE•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{4{+m}^{2}}$•$\frac{|4+0-2m|}{\sqrt{4{+m}^{2}}}$=$\frac{9}{4}$，
求得m=$\frac{17}{4}$（舍去），或m=-$\frac{1}{4}$，
故要求的直線l的方程為8x-y+2=0，
故答案為：8x-y+2=0．

點(diǎn)評 本題主要考查用兩點(diǎn)式、截距式求直線的方程，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．