Question

13．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分別為SA，SB的中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，過(guò)M，N作平面MNPQ分別與BC，AD交于點(diǎn)P，Q，若$\overrightarrow{DQ}$=t$\overrightarrow{DA}$．
（1）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，求證：平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得二面角M-PQ-A的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AE⊥CD，PQ⊥AE，從而SE⊥面ABCD，由此能證明面MNPQ⊥面SAE．
（2）以E為原點(diǎn)，ED，EA，ES直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出t的值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）E為CD中點(diǎn)，∴四邊形ABCE為矩形，
∴AE⊥CD，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，Q為AD中點(diǎn)，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，
∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，
∵PQ?面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，
所以面MNPQ⊥面SAE．
（2）如圖，以E為原點(diǎn)，ED，EA，ES直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系；
設(shè)ED=a，則M（（1-t）a，（$\sqrt{3}t$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），E（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），
Q（（1-t）a，$\sqrt{3}ta$，0），$\overrightarrow{MQ}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），
面ABCD一個(gè)方向向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面MPQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MQ}=（1-t）ax+（\sqrt{3}t-\frac{\sqrt{3}}{2}）ay+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=x=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\frac{1}{t-\frac{1}{2}}$，2），
平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{p}$=（0，0，1）
∵二面角M-PQ-A的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴由題意：cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{\sqrt{（\frac{1}{t-\frac{1}{2}}）^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得t=$\frac{1}{4}$或t=$\frac{3}{4}$，
由圖形知，當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時(shí)，二面角M-PQ-A為鈍二面角，不合題意，舍去
綜上：t=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．